Банк изменил штрафы за просрочку на 150%
 

Законно ли то, что указано в заголовке?
В договоре есть пункт, что банк может менять условия, но меня о таком изменении не предупреждали.
Обратился по телефону, где сказали, что все изменения можно увидеть на сайте.
Обязан ли я просматривать сайт и искать изменения условий?
Выиграю ли суд, если подам иск?

Это незаконно.
Смотрите статью 310 ГК РФ.

150% выиграете!

А как быть с изменениями условий по % кэшбэка? Изменением размеров комиссий за трансграничные платежи? Как вообще быть с фразой "банк оставляет право менять условия"?

По картам все зыбко. В отличие от потребительского кредита каждое использование лимита является вновь полученным кредитом. Судебная практика разносторонняя.

Что касается кредита, то не ценовые условия банка в разумных пределах свободно можно менять.

Дебетовок тоже это касается. И по кредитным условия менялись просто по конкретной дате.

Указанная статья не устанавливает исключений. Если эти условия были в договоре при заключении, то банки их менять в одностороннем порядке не могут.

Так изначально было указано, что банк может менять условия по своему усмотрению. И в данной ситуации банк прав?

Условие о возможности изменений условия договора противоречит ст 310 ГК РФ. Оно ничтожно в силу ст 1666 ГК РФ. Кроме того, включение таких условий - это административное правонарушение.

Могу посоветовать ТС обратиться в Роспотребнадзор.